Einfacher Regelkreis Beispiel Essay

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Als Regelkreis wird der in sich geschlossene Wirkungsablauf für die Beeinflussung einer physikalischen Größe in einem technischen Prozess bezeichnet. Wesentlich hierbei ist die Rückführung des aktuellen Wertes an den Regler, der einer Abweichung vom Sollwert kontinuierlich entgegenwirkt (negative Rückkopplung). Zur Beschreibung wird der Regelkreis in einzelne Übertragungsglieder zerlegt (siehe nebenstehendes Blockschaltbild).

Die mit dem Regelkreis geregelte Ausgangsgröße verhält sich robust gegenüber angreifenden Störgrößen an der Regelstrecke. Es ist Aufgabe des Reglers, das Zeitverhalten der Regelgröße bezüglich des statischen und dynamischen Verhaltens gemäß vorgegebener Anforderungen festzulegen. Zur Erfüllung widersprechender Anforderungen wie gutes Führungs- und Störverhalten sind gegebenenfalls aufwändigere Regelkreisstrukturen erforderlich.

Ein stabiler Regelkreis kann bei Parameteränderungen instabil werden, selbst wenn die einzelnen Bestandteile des Regelkreises für sich genommen stabil sind. Andererseits kann sich ein Regelkreis auch stabil verhalten, wenn einzelne Bestandteile instabil sind.

Für die anspruchsvolle Auslegung eines Reglers ist das mathematische Modell der Regelstrecke erforderlich (siehe auch Systemtheorie Mathematische Modelle). Bei Mehrgrößensystemen (MIMO) eignet sich die Reglerauslegung mit der Zustandsraumdarstellung, bei nichtlinearen und totzeitbehaftetenEingrößensystemen (SISO) empfiehlt sich die numerische Berechnung. Die klassischen grafischen Regler-Entwurfsmethoden (Bode-Diagramm, Ortskurve des Frequenzgangs, Wurzelortsverfahren) haben lediglich didaktisch informative Bedeutung.

Durch moderne Elektronik gelingt die Realisierung beliebig komplexer Reglerstrukturen mit vertretbarem wirtschaftlichem Aufwand. Vielfach werden anstelle analoger Regler digitale Regler verwendet und eventuell mit digitalen Mess- und Stellgliedern kombiniert. Die Digitalsignale sind Wert- und zeitdiskrete Signale. Diese Regelkreise verhalten sich wie analoge Regelkreise, wenn die Auflösung und Abtastrate hoch genug ist.

Regelkreise gibt es auch außerhalb der Technik. siehe letztes Kapitel.

Einführung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zum Verständnis der nachfolgenden mathematischen Behandlung von Regelkreisgliedern und theoretischen Modellen werden die Grundlagenkenntnisse der Differenzialgleichung und die Anwendung der Laplace-Transformation vorausgesetzt.

Ein realer Regelkreis besteht aus mehreren Einzelkomponenten der Regelstrecke und des Reglers, die jeweils ein bestimmtes Zeitverhalten haben. Während die Regelstrecke meist als ein technisches System vorliegt, ist zur mathematischen Behandlung des geschlossenen Regelkreises eine Systemanalyse der Regelstrecke erforderlich, aus der sich ein mathematisches Modell bestimmen lässt. Das Modell sollte weitgehend dem Zeitverhalten der realen Regelstrecke entsprechen. Die Beobachtung eines Signalverlaufs an einem Übertragungssystem für ein gegebenes Eingangssignal beginnt bei und endet für den Verlauf des Ausgangssignals mit .

In Verbindung mit dem Regelstreckenmodell kann ein Regler parametriert werden, der für den geschlossenen Regelkreis nach der Schließbedingung die Stabilität sichert.

Allgemein können die Parameter des Reglers bei komplizierteren Regelstrecken nicht optimal von Hand eingestellt werden. Industrielle Regelprozesse mit Fehlanpassungen des Reglers können infolge aufschaukelnder Amplituden der Regelgröße Zerstörungen der Anlagen herbeiführen.

Wegen geforderter Gütekriterien (Regelgüte) des Einschwingvorgangs der Regelgröße ist die heuristische Methode „Versuch und Irrtum“ in der offline-Simulation des Regelkreises meist üblich.

Die häufigsten mathematischen Systembeschreibungen sind die Differentialgleichung, die Übertragungsfunktion, der Frequenzgang und die zeitdiskreteDifferenzengleichung. Enthalten die Systeme eine Totzeit (Transportzeit, Getriebespiele), Begrenzungseffekte einiger Komponenten oder andere Nichtlinearitäten kommt für die Systemberechnung praktisch nur die zeitdiskrete Behandlung mit Differenzengleichungen in Verbindung mit logischen Funktionen als Systembeschreibung infrage. Differenzengleichungen können aus gewöhnlichen Differentialgleichungen abgeleitet werden, in dem die Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ersetzt werden.

Grundlagen Regelkreismodell[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dynamische Systeme mit konzentrierten Parametern als Eingrößen- und Mehrgrößensysteme können sich linear, nichtlinear, zeitinvariant, zeitvariant und global-proportional, -integral und -differenzial verhalten. Systeme mit konzentrierten Parametern (Feder-Masse-System) haben im Gegensatz zu Systemen mit verteilten Parametern (Wärmefluss im homogenen Medium) keine räumliche Ausdehnung.

Die Aufgabe eines mathematischen Modells eines realen dynamischen Prozesses oder eines noch zu projektierenden technischen Prozesses dient dem Erkennen und der Vorhersage des Systemverhaltens.

Das mathematische Modell eines Regelkreises beschreibt alle äußeren Einflussgrößen wie Störgrößen und Eingangssignale auf den geschlossenen Wirkungsablauf des Regelkreises. Das Verhalten der Ausgangsgrößen wie die Regelgrößen sowie auch interessante Zwischengrößen (Stellgrößen) als Funktion der Eingangssignale und der Parameter von Regler und Regelstrecke sind von besonderem Interesse.

Je nach Lastenheft der regelungstechnischen Aufgabenstellung ist für die Bestimmung eines geeigneten Reglers das mathematische Modell der Regelstrecke erforderlich.

Mathematische Modelle können bei einfachen linearen physikalischen Systemen durch eine gewöhnliche Differenzialgleichung exakt eine Regelstrecke beschreiben (= Theoretische Modellbildung).

In den meisten Anwendungsfällen haben Übertragungssysteme (Regelstrecken) auch nichtlineare Komponenten und sind totzeitbehaftet. Für solche Systeme wird experimentell durch geeignete Testsignale die Systemantwort aufgezeichnet und ein mathematisches Modell gesucht, das den gemessenen Verlauf der Ausgangsgröße y(t) reproduziert (= Experimentelle Prozessanalyse). Ein derartig definiertes Modell ist durch Anwendung numerischer Verfahren einfach berechenbar. Sind nichtlineare Teilsysteme im Gesamtsystem enthalten, müssen diese getrennt erfasst und durch Wertetabellen definiert werden.

Global-proportionale Regelstrecken höherer Ordnung mit Totzeit lassen sich relativ genau durch PT2-Tt-Glieder beschreiben. Global-integrale Regelstrecken lassen sich ebenso durch PT2-Tt-I-Glieder beschreiben.

Zum Modellverständnis eines dynamischen Systems müssen die wichtigsten Begriffe der inneren Systemspeicher verstanden werden.

Details siehe Artikel Systemtheorie (Ingenieurwissenschaften)!

Der einschleifige Regelkreis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Analysieren von Funktionen verlangt, die Regelkreisteile einzeln zu betrachten. So beschreibt der Begriff offener Regelkreis (Offene Schleife) das Verhalten von Regler und Regelstrecke ohne Rückkopplung. Der Vorgang des Schließens (also das Hinzuschalten der Rückführung) wird in einigen Fällen separat betrachtet.

Übertragungsfunktionen des Regelkreises[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Übertragungsverhalten von linearen Regelkreissystemen (Lineares zeitinvariantes System, LZI-System) wird allgemein durch Differentialgleichungen (siehe auch Lineare gewöhnliche Differentialgleichung) beschrieben. Eine große Vereinfachung der Berechnung der Systeme ergibt sich dann, wenn die Lösung der Differentialgleichung nicht im Zeitbereich, sondern im Bildbereich (s-Bereich) mittels Laplace-Transformation vorgenommen wird. Die Systemberechnung bezieht sich dann auf einfache algebraische Operationen. Voraussetzung ist, dass es sich bei dem System um ein LZI-System handelt und die Anfangsbedingungen Null sind.

Die Übertragungsfunktion eines Übertragungssystems ist das Verhältnis der Laplace-transformierten Ausgangsgröße Y(s) zur Laplace-transformierten Eingangsgröße U(s) mit s als Laplace-Variable.

Die Übertragungsfunktion eines dynamischen linearen zeitinvarianten Systems:

und des Regelkreises

ist in der Regelungstechnik die am meisten dargestellte Beschreibung für das Eingangs-Ausgangsverhalten von Regelkreisgliedern.

Die Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion sind die wichtigsten Kenngrößen des Systemverhaltens.

Beispiel einer Übertragungsfunktion der Polynomdarstellung und der Zerlegung in die Pol-Nullstellen-Darstellung mit reellen Linearfaktoren:

Mittels der Nullstellenbestimmung können die Polynome der Übertragungsfunktion in eine Produktform (Linearfaktoren) im Zähler und Nenner gebracht werden. Die Produktdarstellung im Zähler und Nenner der Übertragungsfunktion ist mathematisch identisch mit der Polynomdarstellung.

Die Pole (Nullstellen des Nenners) oder Nullstellen (Nullstellen des Zählers) sind entweder Null, reell oder konjugiert komplex.

Durch die Zerlegung der Zähler- und Nennerpolynome in Pole und Nullstellen ergibt sich die faktorielle Darstellung der Übertragungsfunktion, d. h. in die 3 möglichen Grundsysteme im komplexen Frequenzbereich (s-Bereich, s-Ebene):

jeweils in Kombinationen im Zähler und Nenner der Übertragungsfunktion stehend.

(Siehe Regelstrecke#Charakterisierung der Regelstrecken)

Die Pole (Nullstellen des Nennerpolynoms) der Übertragungsfunktion sind gleichzeitig die Lösungen des Systems, was noch ausführlich gezeigt wird.

Liegt die Übertragungsfunktion einer Regelstrecke oder ein angenähertes Modell der Regelstrecke vor, kann relativ einfach ein passender Regler bestimmt werden. Dabei ist jedoch zu beachten, dass durch eine bestimmte Kreisverstärkung sich eine hohe Stellgröße u(t) ergeben kann, die die Regelstrecke nicht verarbeiten kann. Es tritt eine Begrenzung der Stellgröße ein und die Übertragungsfunktion des offenen oder geschlossenen Regelkreises ist nicht mehr gültig.

Die Signalbegrenzung ist ein Effekt von mehreren in realistischen Regelstrecken vorkommenden nichtlinearen Systemen. Dies gilt auch für Totzeitsysteme und Systeme mit nichtlinearer Kennlinie. Sie können nicht mit der Übertragungsfunktion behandelt werden. Für Totzeit-Systeme gibt es wohl eine transzendente Übertragungsfunktion:

,

die einer Übertragungsfunktion G(s) multiplikativ angehängt werden kann, sich aber nicht für die algebraische Berechnung mit der Übertragungsfunktion eignet.

Ebenso sind verschiedene klassische Methoden der Stabilitätsbetrachtung für die genannten Effekte ungültig.

Anforderungen an einen Regelkreis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Der Regelkreis muss stabil sein.
Die Stabilität des Regelkreises mit linearen zeitinvarianten Übertragungssystemen hängt von der Ordnung und den Parametern der Strecke, von der Struktur des Reglers und von den Parametern des Reglers ab.
Wird eine Steuerstrecke aus linearen zeitinvarianten Systemen in Verbindung mit einem Regler zu einem Regelkreis gestaltet, dann werden in Bezug zum Verhalten der Steuerstrecke zwei Vorteile gewonnen:
  • die Regelgröße stellt sich auf das Niveau des Sollwertes ein, Störgrößen werden minimiert,
  • die dominante Zeitkonstante der Regelgröße verringert sich ungefähr um den Faktor der Kreisverstärkung.
Bei Vorhandensein differenzierender PD-Glieder im Regler wird die Verstärkung um einen dynamischen Anteil noch zusätzlich erhöht. Dabei kann die Stellgröße sehr große Werte annehmen. Dies ergibt sich aus der Berechnung der Schließbedingung (Signalflussalgebra) des Regelkreises.
Eine zu einer Regelstrecke umfunktionierte Steuerstrecke lässt sich ohne Energiezufuhr nicht schneller machen. Dieses Beispiel zeigt den Effekt der gerätetechnischen Signalbegrenzung der Stellgröße , die häufig als Schnittstelle von Steuersignalen und Steuerenergie fungiert (z. B. Stellantriebe, Ventile usw.). Es ist Ermessenssache, ob die Leistungsschnittstelle zum Regler oder zur Regelstrecke gehört.
Die Übertragungsfunktion dieses Beispiels eines einfachen Regelkreises enthält keinen Hinweis auf eine Signalbegrenzung und ist deshalb falsch, wenn eine Signalbegrenzung vorliegt. Übertragungsfunktionen gelten nur für lineare zeitinvariante Systeme.
Man kann durchaus Signalbegrenzungen ignorieren und kommt zu einem stabilen Regelkreis. Jedoch entspricht das Übergangsverhalten der Regelgröße bei Signalbegrenzungen nicht der Übertragungsfunktion des Regelkreises.
Ein wichtiges Verfahren der Bestimmung der Stabilität ist die Analyse des Nennerpolynoms der Übertragungsfunktion des Regelkreises, ob die Pole (Nullstellen des Nenners, die die Gleichung zu Null machen) in der linken s-Halbebene liegen. Siehe Kapitel „Stabilität des Regelkreises“!
  • Der Regelkreis soll ein gutes Führungsverhalten und Störverhalten aufweisen.
Werden keine besonderen regelungstechnischen Maßnahmen getroffen, sind dies widersprechende Anforderungen.
  • Der Regelkreis soll sich robust verhalten.
Unter „robust“ versteht man den Einfluss der schleichenden Änderungen der Parameter von Regler und Regelstrecke auf die Dynamik des Regelkreises. Diese durch innere und äußere Umwelteinflüsse wie z. B. Alterung, Reibung, Korrosion entstehenden Parameteränderungen müssen innerhalb eines zugelassenen Toleranzbereiches liegen. Das Verhalten der Robustheit wird auch mit Einfluss der „inneren Störgrößen“ eines Regelkreises bezeichnet.

Diese dargestellten Anforderungen sind nur durch einen Kompromiss der Reglerparameter zu erfüllen. Bei hohen Anforderungen z. B. an das Führungsverhalten und/oder Störverhalten sind aufwändigere Reglerstrukturen erforderlich.

Führungsverhalten eines Regelkreises[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Regelkreis soll ein gutes Führungsverhalten haben, d. h. nach Vorgabe einer Führungsgröße W(s) bzw. Führungsgrößenänderung (Sollwertänderung) wird ein bestimmtes dynamisches Verhalten erwünscht, mit dem die Regelgröße sich dem Sollwert der Führungsgröße annähert. Neben dem dynamischen Verhalten interessiert die stationäre Genauigkeit. Typisches Eingangs-Testsignal ist der Einheitssprung. (Siehe Tabelle Testsignale)

Unter dem Begriff Sollwert versteht man einen bestimmten Wert der Führungsgröße. Ist die Führungsgröße eine zeitabhängige Größe, muss der Regelkreis bzw. die Regelgröße ein gutes Folgeverhalten zeigen. Typisches Eingangstestsignal ist die Anstiegsfunktion. (Siehe Tabelle Testsignale.)

Standardmäßig setzt sich der Regelkreis G(s) (siehe Signalflussalgebra) aus den Übertragungsfunktionen des Reglers GR(s) und der Strecke GS(s) zusammen. Hat die messtechnische Erfassung der Regelgröße ein Zeitverhalten, das berücksichtigt werden muss, dann erhält der Zweig der Rückführung der Regelgröße die messtechnische Einrichtung mit der Übertragungsfunktion GM(s).

  • Die Führungs-Übertragungsfunktion des Regelkreises lautet gemäß der Schließbedingung mit negativer Kopplung (Gegenkopplung):
Ist das Zeitverhalten von GM(s) vernachlässigbar, dann lautet die Übertragungsfunktion:
oder in der Zusammenfassung von GR(s) · GS(s) = GO(s) als offener Regelkreis:

Störverhalten eines Regelkreises[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Regelkreis soll ein gutes Störverhalten zeigen. Der Einfluss der Störgröße soll gering sein. Der Angriffsort der Störgrößen ist häufig die Regelgröße. Der Angriffsort kann aber auch innerhalb der Regelstrecke oder am Eingang der Regelstrecke liegen. Für die Beschreibung des Störverhaltens f(t) müssen der Angriffspunkt und der Störsignalverlauf der Störgröße bekannt sein. Der ungünstigste Fall des Störsignals d(t) liegt vor, wenn es sprungartig additiv auf den eingeschwungenen Zustand der Regelgröße y(t) wirkt. Die Polarität der Störung kann positiv oder negativ sein. Je nach der Dynamik des Regelkreises wird die Störabweichung mehr oder weniger schnell ausgeregelt. Besitzt der offene Regelkreis ein I-Glied, wird eine konstante Störgröße im stationären Zustand vollständig ausgeregelt.

  • Die Störgröße D(s) wirkt auf den Ausgang der Regelstrecke Y(s)
Eingangsgröße = Störgröße D(s)
Ausgangsgröße = Regelgröße Y(s).
Stör-Übertragungsfunktion GD(s) für die auf den Ausgang der Regelstrecke Y(s) wirkende Störung:
  • Die Störgröße D(s) wirkt auf den Eingang U(s) der Regelstrecke
Eingangsgröße = Störgröße D(s)
Ausgangsgröße = Regelgröße Y(s).
Stör-Übertragungsfunktion für die auf den Eingang der Regelstrecke wirkende Störung:
Der entscheidende Unterschied einer Störübertragungsfunktion mit Angriff der Störgröße auf den Streckeneingang anstelle des Streckenausgangs ist die Tatsache, dass das Störsignal bei Angriff auf den Streckeneingang die Regelstrecke mit Ihren Verzögerungskomponenten durchlaufen muss und entsprechend gedämpft wird. Bei Angriff des Störsignals auf den Ausgang der Regelstrecke wirkt das Störsignal im ersten Augenblick ungedämpft auf die Regelgröße, bis entsprechend der Dynamik des Regelkreises der Störeinfluss reduziert wird.
Regelkreise, bei denen die Störgröße am Eingang oder innerhalb der Regelstrecke wirkt, erfordern eine andere optimale (höhere) Kreisverstärkung für das Störverhalten als für das Führungsverhalten. Eine höhere Kreisverstärkung – als für das optimale Führungsverhalten notwendig – führt zu einer Erhöhung der Schwingneigung der Regelgröße y(t) für zeitlich schnelle Führungs-Eingangsgrößen.
Ist das Führungsverhalten bei Führungsgrößen-Änderungen nicht so wichtig, kann mittels einer Anstiegsbegrenzung des Sollwertes der Führungsgröße das Überschwingen der Regelgröße y(t) begrenzt werden.
Ist ein optimales Führungs- und Störverhalten gefordert, müssen spezielle Reglerstrukturen eingesetzt werden.
Einschränkung des Superpositionsprinzips bei Einwirken einer Störgröße innerhalb des Regelkreises.
Greift eine Störgröße z. B. am Eingang der Regelstrecke an, gilt das Superpositionsprinzip nur innerhalb des Reglers oder innerhalb der Regelstrecke.
Auswirkung:
  • Verschiebt man eine Komponente des Reglers über den Eingriffsort der Störgröße hinaus, dann ändert sich die Störübertragungsfunktion. Damit ändert sich die Störunterdrückung.
  • Wenn man bei einer Pole-Nullstellenkompensation eine Komponente des Reglers mit einer Komponente der Strecke, die hinter dem Eingriffspunkt der Störgröße liegt, gegeneinander kürzt (z. B. PD-Glied gegen PT1-Glied), dann ergibt sich ein völlig anderes Verhalten der Regelgröße gegenüber dem ungekürzten Zustand.
  • In der Praxis an einer Hardware-Regelstrecke ist dieses Verhalten ohne Bedeutung, weil man ohne Kunstgriffe kaum eine Komponente des Reglers in die Regelstrecke verschieben kann. Für die Simulation eines Regelkreises mit einer Störgröße innerhalb der Regelstrecke muss die dargestellte Einschränkung des Superpositionsprinzips beachtet werden.

Begriffe zur Beschreibung der Dynamik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Regelkreis-Gesamtverstärkung (auch Kreisverstärkung, P-Verstärkung)
Unter der Kreisverstärkung K des offenen Regelkreises wird das Produkt aller Faktoren der einzelnen Übertragungssysteme verstanden. Bei Reglern mit einem I-Glied in der Paralleldarstellung z. B. beim PID-Regler beträgt die Gesamtverstärkung des Regelkreises K = KPID · 1 / Tn.
Soweit möglich, werden Verzögerungsglieder der Regelstrecke durch PD-Glieder des Reglers kompensiert.
Um den offenen Regelkreis schließen zu können, muss erst die Gesamtverstärkung des offenen Regelkreises ermittelt werden, die den Verlauf der Regelgröße bei Sollwert-Änderungen oder Angriff einer Störgröße entscheidend beeinflusst. Für die Ermittlung der Gesamtverstärkung des offenen Regelkreises gibt es eine Reihe von Stabilitätsverfahren, die je nach Verhalten der Regelstrecke mit mehr oder weniger Einschränkungen verbunden sind:
  • Einschwingen (auch Übergangsverhalten, Transientes Verhalten)
Das Einschwingen (Überschwingen) eines Ausgangssignals eines Übertragungssystems als Folge einer Eingangssignaländerung ist ein dynamischer Vorgang f(t), bei dem die Ausgangsgröße des Systems im Falle eines stabilen Systemverhaltens sich bis zu einem stationären Zustand bewegt.
Unter Einschwingzeit wird hier das Zeitintervall zwischen Start der Eingangssignal-Änderung und der abgeschlossenen dynamischen Änderung des Ausgangssignals verstanden, dem Beginn des stationären Zustandes des Ausgangssignals. Meist wird das Abklingen der Signaländerung mit einem Toleranzwert von kleiner ca. 10 % bis 5 % als abgeschlossen definiert.
Unter der Überschwingzeit versteht man den Zeitraum des dynamischen Vorgangs vom Erreichen des Sollwertes bis zum Abklingen. Die Werte des Erreichens und des Abklingens der Schwingung werden häufig einem Toleranzbereich von ±10 % bis ±5 % zugeordnet.
Die Regelgröße folgt dem Sollwert (Festwertregelung). Die Regelgröße stellt sich nach der Einschwingzeit auf das Niveau des Sollwertes ein.
Ist ein I-Anteil im Regelkreis vorhanden, wird die Regeldifferenz e(t) bei einer konstanten Störgröße nach der Einschwingzeit zu Null.
Blockschaltbild eines einfachen Standardregelkreises, bestehend aus der Regelstrecke, dem Regler und einer negativen Rückkopplung der Regelgrößey (auch Istwert). Die Regelgröße y wird mit der Führungsgröße (Sollwert) w verglichen. Die Regeldifferenze = wy wird dem Regler zugeführt, der daraus entsprechend der gewünschten Dynamik des Regelkreises eine Stellgröße u bildet. Die Störgröße d wirkt meistens auf den Ausgang der Regelstrecke, sie kann aber auch auf verschiedene Teile der Regelstrecke Einfluss nehmen.
Sprungantwort eines Regelkreises mit verschiedenen Begrenzungen des Stellgliedes bei hoher Kreisverstärkung
Regelkreis mit Störgröße am Ausgang der Regelstrecke
Regelkreis mit Störgröße am Eingang der Regelstrecke
Sprungantwort eines Regelkreises mit einer additiv wirkenden Störgröße am Streckeneingang

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