Maximin Regel Beispiel Essay

Als Entscheidung unter Ungewissheit werden in der Entscheidungstheorie Entscheidungssituationen bezeichnet, bei denen zwar die Alternativen, die möglichen Umweltzustände und die Ergebnisse bei Wahl einer bestimmten Alternative und Eintritt eines bestimmten Umweltzustandes bekannt sind, in denen aber die Eintrittswahrscheinlichkeiten der Umweltzustände unbekannt sind. Diese werden manchmal auch Entscheidungen bei objektiver Unsicherheit genannt.

Allgemeines[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Entscheidung unter Ungewissheit ist in der Entscheidungstheorie ein Unterfall der Entscheidung unter Unsicherheit. Entscheidungen unter Ungewissheit unterscheiden sich von Entscheidungen unter Risiko dadurch, dass bei letzteren die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten bestimmter Umweltzustände als bekannt vorausgesetzt werden oder zumindest durch eine Schätzung zugeordnet werden können.

Die Entscheidungssituation bei Entscheidungen unter Ungewissheit kann durch eine Ergebnismatrix dargestellt werden. Der Entscheider hat die Wahl zwischen verschiedenen Alternativen, die abhängig von den möglichen Umweltzuständen verschiedene Ergebnisse zur Folge haben. Allerdings weiß der Entscheider vorher nicht, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Umweltzustände und damit die Ergebnisse eintreffen.

Die Unterscheidung von Unsicherheit in Ungewissheit und Risiko hat sich sprachlich noch nicht komplett in der Fachliteratur etabliert. So wird teilweise nur eine Zweiteilung in Unsicherheit (Wahrscheinlichkeiten unbekannt) und Risiko (Wahrscheinlichkeiten bekannt) vorgenommen.[1]

Entscheidungsregeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden Entscheidungsregeln sollen an einer beispielhaften Entscheidungssituation näher erläutert werden.

Beispiel: 100 € sollen für ein Jahr angelegt werden. Zur Wahl stehen: eine Aktie () oder der Sparstrumpf, der keine Zinsen abwirft (). Die möglichen Umweltzustände sind: Der Aktienkurs steigt (), er sinkt () oder er bleibt gleich ().

Die Ergebnismatrix sieht dann zum Beispiel wie folgt aus:

Entscheidungen unter Ungewissheit können rational nach unterschiedlichen Regeln gefällt werden:

Minimax-Regel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Minimax-Regel

Die Minimax-Regel oder Maximin-Regel (nach Abraham Wald auch Wald-Regel), ist sehr pessimistisch. Hierbei wird das jeweils ungünstigste Ereignis betrachtet, welches bei Wahl einer bestimmten Handlungsalternative in den verschiedenen Umweltzuständen eintreten kann. Die Alternativen werden nur anhand dieses jeweils schlechtesten Ergebnisses (das jeweils bei verschiedenen Umweltzuständen eintreten kann) verglichen, alle anderen möglichen Ergebnisse einer Alternative werden nicht betrachtet.

Im vorliegenden Beispiel wählt der Entscheider den Sparstrumpf (Alternative 2, ), da dieser unabhängig von den Umweltzuständen eine Auszahlung von 100 € garantiert, während bei Alternative 1 im schlechtesten Fall (Kurs sinkt, Umweltzustand ) am Ende des Jahres nur 80 € zu Buche stehen. Aus diesen Zeilenminima wählt man anschließend das Maximum. Aus diesem Vorgehen leitet sich der Name der Entscheidungsregel ab.

Eine konkrete Anwendung der MaxiMin-Regel findet sich bei John Rawls in Eine Theorie der Gerechtigkeit. Viele Schachprogramme verwenden einen entsprechenden Minimax-Algorithmus bei der Zugwahl.

Eine Erweiterung der Maximin-Regel ist die Leximin-Regel von Amartya Sen,[2] wonach für den Fall, dass zwei Alternativen den jeweils schlechtesten Zustand aufweisen, diejenige auszuwählen ist, bei der der zweitschlechteste Fall den höchsten Wert aufweist, u. s. w. Durch diesen Zusatz wird vermieden, dass eine insgesamt schlechtere Version gewählt werden kann, nur weil sie dem Maximin-Prinzip entspricht.

Maximax-Regel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Maximax-Regel ist eine sehr optimistische Entscheidungsregel. Hierbei wird jede Alternative nur anhand des Ergebnisses, das beim jeweils für diese Alternative günstigsten Umweltzustand eintreten kann, beurteilt. Der Entscheider wählt also diejenige Handlungsalternative mit dem maximalen Zeilenmaximum.

Im vorliegenden Beispiel wählt der Entscheider folglich die Alternative .

Kritik an Maximin- und Maximax-Regel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beide vorliegenden Regeln berücksichtigen nicht alle möglichen Ergebnisse einer Handlungsalternative, sondern greifen sich nur jeweils das beste (Maximax) oder das schlechteste (Maximin) Ergebnis einer Alternative heraus. Dies kann zu unerwünschten Ergebnissen führen, wie die folgenden Beispiele zeigen.

Nach der Maximax-Regel würde hier die Alternative gewählt, da nur das Ergebnis im günstigsten Umweltzustand also betrachtet wird, was größer als 119 ist. Die in allen anderen Umweltzuständen eintretende Auszahlung von Null bei Alternative würde nicht berücksichtigt.

Nach der Minimax-Regel würde hier die Alternative gewählt, da nur das jeweils im ungünstigsten Umweltzustand eintretende Ergebnis betrachtet wird, also für die Alternative das Ergebnis = 99 und bei Alternative 100. Die in allen anderen Umweltzuständen eintretende Auszahlung von 120 bei Alternative würde nicht berücksichtigt.

Hurwicz-Regel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Hurwicz-Regel, benannt nach Leonid Hurwicz, auch Optimismus/Pessimismus-Regel genannt, erlaubt Kompromisse zwischen pessimistischen und optimistischen Entscheidungsregeln, weil der Entscheidungsträger dabei seine persönliche und subjektive Einstellung durch den sogenannten Optimismusparameter (mit ) zum Ausdruck bringen kann.

Die jeweiligen Zeilenmaxima werden somit mit (das zwischen 0 und 1 liegt) und die jeweiligen Zeilenminima mit () – d. h. dem in der Summe mit einen Wert von 1 ergebenden Betrag – multipliziert.

Je größer ist, umso optimistischer ist die Grundeinstellung, bei = 1 liegt die Anwendung der Maximax-Regel, bei = 0 die Anwendung der Maximin-Regel vor.

Im vorliegenden Beispiel wählt der Entscheider für > 0,5 die Aktie und für < 0,5 den Sparstrumpf.

Auch die Hurwicz-Regel betrachtet nicht alle möglichen Ergebnisse, sondern bewertet die Alternativen anhand eines gewichteten Mittelwerts ihres bestmöglichen und ihres schlechtestmöglichen Ergebnisses. Problematisch ist bei ihr weiterhin, dass die Wahl des Optimismusparameters stark stimmungsabhängig schwanken kann.

Beispiel:

bei würde man sich also für die Alternative entscheiden.

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